数値解析は、理論的微積分の無限の精度とコンピュータハードウェアの有限で離散的な制約との間の厳密な架け橋として機能します。このスライドでは、極限、連続性、微分可能性の基礎的な定義を提示し、微積分が「正確な」解析的到達点を提供する一方、数値計算は古典的実数解析で定義された許容誤差（$\varepsilon$）と区間（$\delta$）の制約のもとでその「近似」経路を提供することを示しています。
1. 基礎：極限と逐次近似
我々は極限の理論的抽象から、プロセッサがゼロに近づくことができないという計算上の現実へと移行します。プロセッサは、 マシンイプシロンまでしか近づけません。
定義 1.1：極限
関数 $f$ が集合 $X$ 上で定義されているとき、任意の実数 $\varepsilon > 0$ に対して、$|f(x) - L| < \varepsilon$ となるような $\delta > 0$ が存在し、$x \in X$ かつ $0 < |x - x_0| < \delta$ のとき、$\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ と表記されます。
定義 1.3：数列の収束
数列 $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ が、任意の $\epsilon > 0$ に対して、正の整数 $N(\epsilon)$ が存在し、$n > N(\epsilon)$ ならば $|x_n - x| < \epsilon$ となるとき、その極限は $x$ となります。これは私たちの 反復アルゴリズムまでしか近づけません。
2. 連続性と微分可能性：安全要件
数値ソフトウェアにおいて、 連続性（定義 1.2） および 微分可能性（定義 1.5） これらは学術的な性質に留まらず、数値安定性のための「安全要件」とも言えます。 定理 1.6 定理 1.6 は、関数が $x_0$ で微分可能であれば、$x_0$ で連続であることを証明しており、小さな測定誤差が破壊的な出力のジャンプを引き起こさないことを保証します。
🎯 実世界の事例：理想気体の法則
$PV = nRT$ を考えます。理論的微積分では、変数が正確であると仮定します。数値計算では、$P$ と $V$ が測定された数列の極限であることを認識します。
$T = \frac{PV}{nR} = \frac{(1.00)(0.100)}{(0.00420)(0.08206)} = 290.15 \text{ K} = 17^\circ\text{C}$